Seminars: 2024/04/01--2025/04/01

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本講演は二つのパートからなる。 まず前半では、私のプレプリント(arXiv:2208.01865)に関する話をする。このプレプリントの旧バージョンに関しては以前同セミナーで話させて頂いたが、今回はその内容を改善したものである。 （時間があれば）後半では、7次元以下、正リッチ曲率を持つ、非コンパクト、完備安定勾配リッチソリトンのスカラー曲率の下限が”そこまで大きくならない”ことを示す。

本講演では, 1次元の強反発的なデルタポテンシャルを持つ消散非線形クライン・ゴルドン方程式(DNKG)を考える. ポテンシャルのついていない場合においては, C\^{o}te-Martel-Yuan(2021)によって, (DNKG)の大域解はソリトンの重ね合わせ(0個の場合も含む)に漸近すること, さらにそのソリトンの重ね合わせは, 隣接するソリトンの符号が異なることを証明した. 本講演では, (DNKG)の大域解が(ポテンシャルがない場合と同様に)ソリトンの重ね合わせに漸近すること, そして(ポテンシャルがない場合には存在しなかった)同符号の2つのソリトンの重ね合わせに漸近する解が存在することを示す.

Heisenberg Bieberbach多様体とは、Heisenberg群とユニタリ群の半直積のdiscrete torsion-free部分群によるHeisenberg群のコンパクト商のことである。この講演では3次元Heisenberg Bieberbach多様体上のFolland-Stein作用素と呼ばれるCR幾何由来の微分作用素の固有値と固有空間について考察する。Heisenberg Bieberbach多様体が特にHeisenberg群の離散部分群によるコンパクト商であるときには、2004年にFollandによってFolland-Stein作用素の固有値と固有関数が明示的に求められている。Follandの手法を応用し、3次元Heisenberg Bieberbach多様体のいくつかの例に対してもFolland-Stein作用素の固有値と固有空間の次元を求めることができることを紹介する。

ヤグロム極限とは死滅をもつマルコフ過程に対するある種のエルゴード性を表す概念である. 本講演では, 負の跳びをもたない一次元ハント過程が流入条件（一次元拡散過程に対するフェラーの流入条件の一般化）を満たすとき, 単純な仮定の下で, スペクトルギャップの存在およびヤグロム極限への指数的収束が導かれることを紹介する.

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2次元Landau-Lifshitz-Gilbert(LLG)方程式におけるhelical stateと呼ばれる定常解まわりの解の時間減衰評価について考察する. LLG方程式は, 未知関数が$\mathbb{R}^3$の単位球面に値を取り, およそスカラー値における複素Ginzburg-Landau方程式に対応する方程式の構造を持つ. Helical stateは1次元方向に周期的に依存し, その他の変数について定数という特徴をもつ. 線形化解析ではOh-Zumbrum(2010)やJohnson-Zumbrun(2011)に倣い, Bloch-Floquet理論を用いた周波数分解を適用し, 低周波部における時間減衰評価と高周波部におけるエネルギー不等式を得る.

Given two natural numbers g and n, we look for the minimal total number of intersections - called crossing number - between n non-isotopic curves on the closed surface of genus g. The answer is not known except for special values of g and n. In this talk, we discuss known values, and present questions concerning the asymptotic behaviour of the crossing number for fixed g and large n, and also for large g and $n=g^{1+c}$.

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We consider the Schrödinger equation with the cubic nonlinear term with respect to the complex conjugate of solutions and we assume that the cubic nonlinearity has the time growth of order $\nu$. We prove that if the order $\nu$ is in the between 0 and 1/16, and the data are odd, then the small amplitude solutions are stable in the neighborhood of the free solutions.

トロイダル群とは, その上で非定数な正則関数を持たない複素可換Lie群である. 一般に連結なトロイダル群は$n$次元複素ユークリッド空間をある離散部分群で割ったもので表せる. トロイダル群の (平坦直線束係数の) Dolbeaultコホモロジー群については, 風間や阿部らの結果がある. これらのコホモロジーは, 離散部分群の生成元たち (と直線束のモノドロミー) の無理数論的条件によって, コホモロジーが有限次元になる場合と, 無限次元non-Hausdorff空間になる場合を判別できる. 今回は, 以上の先行研究の結果を踏まえ, トロイダル群のコンパクト台付きのコホモロジーに関する事実を紹介する. 本研究は, 小池貴之氏との共同研究である.

抵抗距離空間は電気回路の一般化であり，ディリクレ形式の理論により測度付き抵抗距離空間には確率過程が定まる．Croydon-Hambly-Kumagai (2017)は収束する抵抗距離空間が一様体積倍化条件を満たすならば対応する確率過程とその局所時間が収束することを示した．その後Croydon (2018)はより弱い条件である非爆発条件の下で確率過程の収束を示したが，局所時間の収束については未解決のままであった．本講演では非爆発条件及び距離エントロピーに関する適当な条件の下で確率過程とその局所時間の収束が従うこと，そしてこの結果の応用例について解説する．

体 $K$ 上の楕円曲線 $E$ に対して, $n$-th division polynomial $F_n$ は $E$ の非自明な $n$ 等分点を零点, 原点を極にもつようなある有理関数である. Silvermanは $E$ 上の点 $P$ に対して $K$ の数列 $(F_n(P))$ を考察し, $K$ が $p$ 進体の場合にこの数列がある収束する部分列をもつことを示した. この講演では, この部分列の極限値が代数的 sigma 関数の特殊値を用いて明示的に 表されることを紹介する. 時間が許せば, elliptic divisibility sequence とよばれる整数列への応用や, その他の有理関数での類似についても紹介したい.

The Kohn-Rossi cohomology is a CR analog of the Dolbeault cohomology and is one of fundamental invariants in CR geometry. In this talk, we prove some vanishing theorems for the Kohn-Rossi cohomology of some spherical CR manifolds. To this end, we use a canonical contact form defined via the Patterson-Sullivan measure and Weitzenböck-type formulae.

超平面配置とは，ユークリッド空間内の超平面の有限集合のことである．超平面配置のトポロジーの問題意識として，「超平面たちの交わりの組合せ構造から補集合のトポロジーがどれくらいわかるか」というものがある．補集合のコホモロジー環が組合せ的に決まる一方で，Milnorファイバーを含む，補集合の被覆空間については1次のBetti数でさえ組合せ的に決まるかどうか未解決である．本講演ではこの問に関連し近年注目されている二重被覆や，特異点リンクに対応するMilnorファイバーの境界についての最近の進展について紹介したい．

通常の（1パラメータの）パーシステンス加群が「バーコード」を持つことはよく知られている。ここでバーコードとは，「区間」の多重集合であり，元のパーシステンス加群の情報をよく保持している。一方，パラメータの数が2以上になると，一般にはバーコードを定義できないことが知られている。本講演では，Floer型のホモロジー（Morse, Novikov, Morse-Bott, Floer等）から自然に定まる2パラメータのパーシステンス加群は区間分解可能であり，付随するバーコードが長方形のみからなることを紹介する。また，従来の1パラメータの場合のバーコードからはスペクトル不変量やboundary depthといった不変量が得られていたが，それらの他にも2パラメータ独自の不変量が現れることを説明する。これらは小枝幹汰，矢代海音両氏（新潟大学）との共同研究に基づく。

MCP（測度収縮性）は曲率次元条件の一種であり，サブリーマン／フィンスラー幾何学ではカルノー群がいつMCP(0,N)を満たすか，満たすとしてNはどんな値を取るか，が主な問となっている．今回はサブフィンスラーハイゼンベルグ群について，上記問題をノルムの正則性の観点から説明する．この話はS. Borza氏（SISSA），M. Magnabosco氏（Univ. Oxford），T. Rossi氏（Sorbonne Univ.）との共同研究に基づく．