Seminars: 2019/04/01--2020/04/01

A pseudo-Einstein contact form, which is a contact form satisfying a weak Einstein condition, is necessary for defining some global invariants for strictly pseudoconvex CR manifolds: for example, the total Q-prime curvature and the Burns-Epstein invariant. When we consider the variation of such an invariant, the question arises whether the existence of a pseudo-Einstein contact form is preserved under deformations of CR structures. In this talk, we will answer this question affirmatively for deformations as a real hypersurface in a fixed complex manifold.

Since the introduction of generalized Kähler geometry in 1984 by Gates, Hull, and Roček in the context of two-dimensional supersymmetric sigma models, we have lacked a general understanding of the degrees of freedom inherent in the geometry. In particular, the description of a usual Kähler structure in terms of a complex manifold together with a local Kähler potential function is not available for generalized Kähler structures, despite many positive indications in the literature over the last decade. I will explain how holomorphic Poisson geometry and the tools developed by the Weinstein school may be used to solve this problem. An unexpected benefit of this approach is that it provides a method for obtaining noncommutative algebras from certain generalized Kahler manifolds. The first part of the talk is based on https://arxiv.org/abs/1804.05412 in collaboration with Francis Bischoff and Maxim Zabzine

細胞性粘菌が自身が生成する化学物質に引き寄せられる走化性という現象を記述する方程式系であるKeller-Segel方程式を，グラフ上の問題に拡張した問題を考察する．このような問題はCamilli and Corrias(2017)によって取り扱われており，積分形での時間大域解を構成している．本講演ではグラフ上のKeller-Segel方程式を適当なHilbert空間内の発展方程式として定式化して，その厳密解（すなわちHilbert空間に値をとる時間変数関数で，時間微分可能なもの）を構成する．まず最初にグラフ上の関数空間を定めて，グラフ上の拡散作用素の分数べきの特徴づけを行う．そして，グラフ上のKeller-Segel方程式を発展方程式の形で定式化し，非線形項が分数べきを用いたリプシッツ条件を満たすことを確認して時間局所解の構成を行う．最後に局所解に対してア・プリオリ評価が成り立つことを紹介して，局所解を時間大域解に延長できることを示す．

In 2012, the notion of mutation of Fano polytopes was introduced by Akhtar-Coates-Galkin-Kasprzyk in the context of mirror symmetry for Fano manifolds. Moreover, in 2014, a mutation invariant for Fano polygons was introduced by Akhtar-Kasprzyk, called singularity content. In this talk, I will explain the notion of mutation of Fano polytopes (especially, Fano polygons) and the singularity content of a Fano polygon. After surveying those, I will give some results on a forbidden singularity content.

開リーマン面の変形族が複素2次元スタイン多様体であるとき、 その擬凸性を反映する良いモジュライを構成し、擬凸性の影響による剛性定理を定式化する。 その応用として、ある理想境界が小さい開リーマン面の変形族に対する同時一意化定理を述べる。

本講演では，非整数Brown運動により駆動される確率微分方程式を考える．ラフパス解析を用いて定式化される方程式の解は，自然な仮定の下で，分布密度を持つことが知られている．この分布密度の短時間における漸近挙動について得られた結果を紹介する．本講演は，稲浜譲氏(九州大学)との共同研究に基づく．

In this talk I am going to construct several actions of the braid group with $n$ strands on the $n$-adic integers. This leads to new relations between the topology of certain subspaces of the space of complex polynomials (or equivalently subspaces of a configuration space) and normal subgroups of the braid group. It also allows us to construct infinite families of real algebraic links, the real analogue of Milnor's algebraic links of isolated complex singularities.

多重ゼータ関数には無数に特異点が存在しており、負の整数点のほとんどは特異点に位置する。これら負の整数点における意味のある値を与えるため古庄、小森、松本、津村氏らは特異点解消値と呼ばれる特殊値を導入し、これをcyclotomic caseにまで拡張した。他方、Ebrahimi-Fard、Manchon、Singer氏らにより繰込み値が導入されているが、こちらはcyclotomic caseに拡張されていない。そこで講演者は、三氏らの繰込み値をcyclotomic caseへ拡張し特異点解消値との関係を調べることを試みてきた。今回はこれらの事を講演する。

We shall consider the Cauchy problem of the Boltzmann equation without angular cutoff near an equilibrium state, which is called a Maxwellian. We will construct a unique global solution to it in the Wiener space. The key point of our proof is how to control the nonlinear term: In the known results, basing on the $L^2$-theory, the Sobolev embedding theorem is crucial to tame the $L^\infty$-norm of the unknown function, while the fact that the Wiener space is a Banach algebra is important for our analysis. This talk is based on a joint work with Renjun Duan (Chinese University of Hong Kong), Shuangqian Liu (Jinan University), and Robert Strain (University of Pennsylvania).

EkholmはS^3上の標準的な接触構造において、-9_{46}のあるLegendrian knotは symplectic filling B^4において、Hamiltonian isotopic でないribbon diskのペアを張ることを示した。今回は、これらのdiskは、smoothな意味においても一致しないことについて話をする。これらのdisk補空間は微分同相なStein構造を持つが、境界の対称性は内部に拡張できない性質を持つ。この研究は、上海交通大学の李友林との共同研究である。

消散構造を持つ対称双曲型方程式系や双曲ー放物型方程式系の平衡点の安定性を判定する条件として、Shizuta-Kawashima(1985)やUmeda-Kawashima-Shizuta(1984)によって構築された安定性条件が知られています。この安定性条件は、離散Boltzmann方程式や緩和効果を加えた圧縮性Euler方程式の線形化問題などに適用することができます。この安定性条件を適用するためには、方程式系がある種の対称性を持つことが必要ですが、近年、梁の振動に起因したTimoshenko方程式や、プラズマ現象に起因したEuler-Maxwell方程式、Cattaneoの法則を考慮した板の振動を現す方程式系など、その対称性を持たない物理モデルも知られてきました。そこで、既知の安定性条件を再定式化することで、これらを包括するより複雑な方程式系に対しても安定性を示すことが本講演の目的です。証明の一つの鍵となるのがLyapnov関数の導出ですが、方程式系に内在する対称性に着目して有用なLyapnov関数を構成します。また本講演では、新たな安定性条件の応用例についても解説する予定です。

三角圏に対してBridgelandは安定性条件の概念を導入し, また安定性条件全体の成す集合に複素構造が入ることを示した. 元の安定性条件の定義は, (射影的)代数多様体の連接層の導来圏に対してはうまく機能するが, 代数多様体にC^*-作用があるときの C^*-同変連接層の導来圏に対してはうまく機能しない. そこでこの講演では, 最近のYu Qiu氏との共同研究で導入した C^*-同変版の安定性条件であるq-安定性条件について説明をし,局所CP^1(CP^1の余接束)に対するファイバーをスケールするC^*-作用を考えた場合のC^*-同変連接層の導来圏のq-安定性条件の空間の記述について説明をする. 特に, この空間が局所CP^1のC^*-同変量子コホモロジーと同一視されることについて説明をする.

DonaldsonやUhlenbeck-Yauによって証明された小林-Hitchin対応とは、コンパクトKa hler多様体上の正則ベクトル束がHermite-Einstein計量(HE-計量)を持つという微分 幾何的な条件が、ベクトル束の安定性という代数幾何的な条件と同値であることを示 した有名な結果である。 本講演では、まず複素多様体上の正則ベクトル束の奇数次元における類似としてmini -holomorphic manifold及びその上の(Dirac型の特異性を持った)mini-holomorphic b undleを導入する。続いて、HE-計量の類似としてmini-holomorphic bundle上のBogom olny-Hermite-Einstein計量(BHE-計量)を導入し、最後に3次元の場合において(Dirac 型の特異性を持つ)mini-holomorphic bundleの安定性がBHE-計量の存在を導くという 小林-Hitchin対応の類似の結果を紹介する。

First we introduce the Bailleul-Hoshino’s result, which links the theory of regularity structures with the paracontrolled calculus. As an application of their result, we give another algebraic proof of the multicomponent commutator estimate, which is a general version of the Gubinelli-Imkeller-Perkowski’s commutator estimate.

A projective structure on a Riemann surface is determined by a holomorphic quadratic differential via the Schwarzian differential equation. Thurston showed that on a closed surface, any such structure is obtained by the geometric operation of grafting a hyperbolic surface along a measured geodesic lamination. I shall discuss the analogue of Thurston’s theorem in the case of a punctured Riemann surface, when the quadratic differentials have higher order poles at the punctures. This is joint work with Mahan Mj.

Glauber-Kawasaki過程とよばれる確率的に運動する粒子系の密度は, 反応拡散方程式の解に収束することが知られている. 一方, 初期時刻で界面が形成されているとして双安定なポテンシャルを持つ反応拡散方程式に対して特異極限を取ると, 適当な設定の下で, 極限の界面は平均曲率流に従って時間発展することが知られている. これら二つの極限を同時に取ることにより, Glauber-Kawasaki過程より平均曲率流が導出されるという最近得られた結果について説明する. 本講演では特に, 証明において重要なポイントの一つである, 離散化された反応拡散方程式の解の収束について焦点を当てる. 本講演は早稲田大学の舟木直久氏との共同研究に基づく.

Feigin and Odesskii introduced a family of noncommutative graded algebras, which are parametrized by an elliptic curve and some other data, and claimed a number of remarkable results in their series of papers. The family contains all higher dimensional Sklyanin algebras, which have been widely studied and recognized as important examples of regular algebras in the sense of Artin and Schelter. In ongoing joint work with Alex Chirvasitu and S. Paul Smith, we studied the entire family of the algebras of Feigin and Odesskii from various perspectives. In this talk, I will explain some properties of those algebras, including the nature of the point schemes and algebraic properties obtained by using the quantum Yang-Baxter equation.

Lie群G の四元数ベクトル空間への四元数構造を保つ適切な作用にたいして 一般化Seiberg-Witten方程式と呼ばれる偏微分方程式が4次元多様体上に構成される. この方程式の解全体にはゲージ群が自然に作用し, この群作用による商空間を方程式の解のモジュライ空間と呼ぶ. 一般化Seiberg-Witten方程式の解のモジュライ空間に関する, 講演者の最近の結果の紹介を行う.

We discuss whether and how a random function is identified from its SFCs (short for stochastic Fourier coefficients) induced by the Ogawa integral. In the previous studies, Ogawa, Uemura and the speaker gave affirmative answers for random functions of bounded variation with reconstruction formulas using the law of iterated logarithm for Brownian motion, Kazumi and the speaker gave that for a Skorokhod integral process in the framework of Wiener chaos, and Ogawa and Uemura gave that for certain complex-valued random functions with formulas using the quadratic covariation. In this talk, we introduce the class of random functions which satisfy the desired reconstruction formulas using the quadratic covariation and show regularly Ogawa-integrable random functions including those treated in our previous works are in the class.

本講演では, 空間1次元の場合にgauge不変な3次の非線形項をもつKlein-Gordon方程式の小さな解の長時間挙動について考える. この方程式の解は, 時刻無限大で線形Klein-Gordon方程式の解に散乱しないことが知られている. 未知関数が実数値の場合にDelort(2001)は解の時刻無限大での漸近形を捉えた. その後, 未知関数が複素数値の場合に砂川氏(2005)により解の減衰評価が得られた. 本講演では, 未知関数が複素数値の場合に解の時刻無限大での漸近形が得られたのでその結果を紹介したい. 時間があれば空間2次元の場合についても触れたい.

ケーラー幾何において、スカラー曲率が定数であるようなケーラー計量の存在を考えることは基本的である。 これは4階の複素非線形偏微分方程式を多様体上で考えることに帰着されるが、ケーラー・アインシュタイン計量に関するモンジュ・アンペール方程式に比べても難しいことに加え、特に多様体がコンパクトの場合はK安定性と呼ばれる障害が存在するため、直接解くことは非常に難しい。 ここでは板東と小林によるコンパクトでない多様体上のケーラー・アインシュタイン計量に関する結果をスカラー曲率の場合に一般化することを考える。具体的には偏極多様体上に、スカラー曲率が正定数となるようなケーラー計量を持つ滑らかな豊富因子があることを仮定し、その補集合上に完備かつスカラー曲率が0となるようなケーラー計量を解析的に構成することを考え、それに関する講演者によってここまで得られた結果を紹介する。

対称群に関係する確率モデルの例として、ランダムなヤング図形の極限形状から発展した話題をとりあげる。 対称群の既約表現の同値類をヤング図形でラベルづけする。 プランシェレル測度を備えたヤング図形の集団において箱数をどんどん大きくする極限を考えると、 大数の法則の効果によって巨視的なプロファイル（VKLS極限形状）が浮かび上がることが知られている。 一方、既約表現の制限と誘導を考えると、分岐則を背景にもちプランシェレル測度を不変に保つ マルコフ連鎖がヤング図形の集合上に自然に定まる。 さらに、遷移の間の待ち時間分布を導入することにより、連続時刻のランダムウォークが得られる。 この微視的時刻とヤング図形の箱数の適当なバランスのもとでスケール極限を考えると、 再び大数の法則の効果によって、巨視的時刻を含んだ巨視的プロファイルの時間発展（動的モデル）が導かれる。 このモデルの構成といくつかの性質を紹介することを目標にしたい。 既約指標の計算を中心とした対称群上のフーリエ解析と、非可換な構造をもつ大きなランダム系の考察に しばしば現れる自由確率論の方法を軸にして話を展開する。

In 2002, Dabkowski and Przytycki defined the $n$-th Burnside group of a link, which is an invariant preserved by $n$-moves. It is generally difficult to determine if the $n$-th Burnside groups of a given link and of the corresponding trivial link are isomorphic. In this talk, we give a necessary condition for the existence of such an isomorphism. In 2007, Dabkowski and Sahi introduced a finer invariant preserved by $4$-moves, which is defined as a quotient of the link group of a link. We also give several necessary conditions for which the Dabkowski-Sahi invariant of a given link is isomorphic to that of the trivial link. This is a joint work with Haruko Miyazawa and Akira Yasuhara.

代数多様体S上のアーベル多様体族（アーベルスキーム）に対する次の問題を考えます：Sの全ての閉点における幾何的ファイバーに共通のアーベル多様体が同種因子として現れるとき、このアーベル多様体はSの生成点における幾何的ファイバーの同種因子としても現れるか？ この問題（R\"ossler-Szamuelyの問題）は、Sの基礎体kが代数閉体の場合に容易に帰着されますので、一見純代数幾何的な問題に見えますが、実際には、kが素体上有限生成な体の場合に帰着して、ガロア表現を通じた数論幾何的アプローチをするのが有効です。この問題は一見簡単そうに見えますが、今のところ一般には未解決で、その障害となるのがkが有限体の場合の"ghost"の存在の可能性です。この講演では、この問題についてなるべくわかりやすく概説したいと思います。

シュレディンガー方程式の散乱理論において、波動作用素の存在と漸近完全性はそれぞれ終値問題と初期値問題の解の大域挙動を決定する重要な性質である。線形散乱理論では波動作用素は L^2 で考察されることがほとんどであるが、非線形散乱理論に応用する際にはソボレフ空間での考察が自然と必要になる。この講演では、以下の命題「波動作用素が L^2 で存在して漸近完全であればソボレフ空間でも同じことが成り立つ」が成立するための十分条件とそのポテンシャル散乱への応用について紹介する。例えば1階のソボレフ空間の場合、この条件は滑らかな短距離型・長距離型、クーロン・逆二乗べきを含む局所特異性、1次元デルタ型点相互作用など広範囲のポテンシャルに適用できる。時間が許せば斉次ソボレフ空間の場合も紹介したい。

Z 上の関数 f は gcd(m,n)=1 なる自然数 m,n に対して f(mn)=f(m)f(n) が成り立つとき乗法的算術関数と呼ばれる。有限整アデール環 Z^ は有理整数環 Z を稠密に含むコンパクト環で、Z^ 上には加法に関して不変なボレル可測確率測度(ハール確率測度) λ が存在する。任意の [0,1]-値乗法的算術関数 f は自然に (Z^,λ) 上の確率変数に拡張される。このとき f の値の相加平均 (f(1)+f(2)+…+f(n))/n は n→∞ のとき f の λ による平均に収束する。このことを確率論的手法により示す。

３次元多様体上の接触構造は複素領域の境界に自然に表れる構造であり、３次元多様体を４次元多様体の境界として研究する際に重要な役割を果たす。フロースパインとは３次元多様体内のフローに横断的に交わる円板をフローに沿って流して得られる多面体のことで、多面体によりフローを特徴付けることが可能となる。講演では接触構造の Reeb ベクトル場をフロースパインのフローとすることで、フロースパインと接触構造との対応を与える試みを紹介する。本研究は石井一平氏（慶應義塾大学）、古宇田悠哉氏（広島大学）、直江央寛氏（中央大学）との共同研究である。

通常の（線形部分が2階である）Benjamin-Ono方程式は、可積分系の方程式として知られ、無限個の保存則を持つ。これら保存則をハミルトニアンとして、共通した無限個の保存則を満たす無限個の方程式の列が得られる。これをBenjamin-Ono階層と呼ぶ。本講演では、Benjamin-Ono階層の3番目の方程式である、4次Benjamin-Ono方程式の初期値問題について考える。線形部分の微分が4階であるのに対して、非線形項に最大で3階微分が入っており、ヒルベルト変換が作用していることがこの方程式の特徴である。証明は、エネルギー法に基づく。3階の微分の損失は、対称性により2階の微分の損失に帰着できる。2階及び1階の微分の損失を、エネルギーに加える補正項によって相殺させる。

It is well known that under appropriate geometric conditions, the solutions of the optimal transport (Monge-Kantorovich) problem can be found by solving a (degenerate) elliptic equation of Monge-Ampere type, which in turn can be found as the stationary solution of a parabolic equation. In this talk, I will discuss an exponential convergence result for solutions of such a parabolic equation. This is done by exploiting some of the hidden geometric flavor of the parabolic optimal transport equation, which ultimately connects to the pseudo-Riemannian metric for optimal transport first introduced by Kim and McCann. This talk is based on joint work with Farhan Abedin.

格子凸多面体における最も重要な不変量の１つに，Ehrhart多項式が挙げられる． 格子凸多面体ＰのEhrhart多項式とは，Ｐをｎ倍に膨らませたものに含まれる格子点の個数の数え上げ函数のことである． 格子凸多面体やそのEhrhart多項式は，組合せ論，可換環論，代数幾何，最適化などの様々な文脈で登場する重要な対象である． 本講演では，格子凸多面体のEhrhart多項式に関する基本的性質などを概観した後，Ehrhart多項式の特徴付け問題， つまり，どのような多項式が格子凸多面体のEhrhart多項式として実現できるかについて，最近の研究結果も含めて紹介する．

In this talk, moderate deviation principles (MDPs) for random walks on covering graphs with groups of polynomial volume growth are discussed from a geometric perspective. They deal with any intermediate spatial scalings between those of laws of large numbers and those of central limit theorems. The corresponding rate functions are given by quadratic forms determined by the Albanese metric associated with the given random walks. Finally, we apply MDPs to establish laws of the iterated logarithm on the covering graphs by characterizing the set of all a.s. limit points of the normalized random walks.

本講演の内容は大阪大学の眞崎聡氏との共同研究に基づく. 非線形シュレディンガー方程式において, 基底状態の安定性は考える空間次元と非線形項の冪により変化する. 質量臨界および質量超臨界では不安定であるため, 散乱の基準を考える場合, 基底状態が基準となるような量を導入するのが自然である. それに対して, 質量劣臨界では安定であるため, 基底状態が散乱の基準となることは期待できない. このため, 質量劣臨界ではどのような量でどのように測るかがポイントとなる. 本講演では空間3次元で2次の非線形項をもつ, つまり質量劣臨界のシュレディンガー方程式系を扱う. 単独のシュレディンガー方程式の場合, 自明な散乱解は零解だけである. しかし, 本講演で考えるシュレディンガー方程式系の場合, 零解以外の自明な散乱解が存在する. この特徴を用いて散乱の基準を与える測り方を導入し, その測り方により得られた基準に対する解析を行う.

分枝ブラウン運動とは，ブラウン粒子たちが分裂による粒子数変動を伴いながら時間発展する確率モデルのことである。分枝ブラウン運動の最大値過程とは，原点から最も遠くにある個体のノルムの軌跡のことである。最大値過程の性質を調べることは，粒子の運動と分裂という２つの確率的要素の相互作用を解析することに相当し，分枝ブラウン運動の基本的な研究課題の１つである。 本講演では，分裂が局所的に起こるような状況下において，最大値過程の極限分布および末尾確率の減衰度が，分枝構造に付随したシュレディンガー型作用素の最小固有値と対応する固有関数により具体的に決定されることを紹介する。 本講演は西森康人氏（阿南工業高等専門学校）との共同研究に基づく。

本講演では0次斉次なポテンシャルを持つシュレディンガー作用素の方向局所化現象と|x| \to \inftyでの漸近挙動を考察する。方向局所化現象は0次斉次なポテンシャルを持つシュレディンガー作用素並びに対応するハミルトン流の現象として知られてきた。本講演ではまずこれらの既知の方向局所化現象について触れた後、半古典測度の方向局所化について述べる。応用として0次斉次なポテンシャルを持つシュレディンガー作用素の場合に観測生不等式が成り立つための必要条件についても述べる。

We study a ``div-grad type" sub-Laplacian with respect to a smooth measure and its associated heat semigroup on a compact equiregular sub-Riemannian manifold. We prove a short time asymptotic expansion of the heat trace up to any order. Our proof is probabilistic. In particular, we use S. Watanabe's distributional Malliavin calculus. Our main result holds true for any smooth measure on the manifold, but it has a spectral geometric meaning when Popp's measure is considered. Although our result may not be extremely new from a probabilistic viewpoint, we believe that it is an important progress in sub-Riemannian geometry. (This is a joint work with Setsuo Taniguchi (Kyushu University))

有限体上定義された楕円曲線が虚数乗法を伴う標数 0 への持ち上げ (CM lifting) を持つことは Deuring によって示された定理である．今回の講演では，有限体上定義された K3 曲面が finite height であれば CM lifting を持つことを，直交型志村多様体の整正準モデルと久賀・佐武構成を使って証明する．その構成の応用として，虚数乗法を持つ複素 K3 曲面の自己積に対する Hodge 予想（向井，Buskin による定理）を用いて，有限体上定義された K3 曲面の自己積についての Tate 予想を証明する．

ポテンシャル項付きの半線形熱方程式の正値時間大域解の存在について考える. 本問題の時間大域可解性を分ける臨界指数, いわゆる藤田指数はポテンシャルの挙動に依存することが知られている. 特に, ポテンシャルが空間遠方で２次の減衰をする場合が閾値になっており, これまでもいくつかの部分的な結果が得られている. 本講演では, ポテンシャルが球対称でありかつ空間遠方で２次の減衰をする場合にいくつかの特別な場合を除き, 藤田指数を完全に決定した結果について紹介する. この結果はこれまでの結果を全て包含するものであり, 特にシュレディンガー作用素が臨界である場合は, 既存の結果では現れない新しい臨界指数が現れることを紹介する. 本講演は石毛和弘氏(東京大学)との共同研究に基づく.

Consider a nonsingular projective curve embedded in projective space by the complete linear system of a very ample line bundle with sufficiently large degree. It is a classical result of Castelnuovo, Mumford, and many others that this curve is projectively normal and the defining ideal is generated by quadrics. Green realized that the classical questions on defining equations should be generalized to higher syzygies, and proved his famous (2g+1+p)-theorem. In this talk, I show that the k-th secant variety of the curve are arithmetically Cohen-Macaulay and satisfies the property N_{k+2,p}. This result was conjectured by Sidman-Vermeire, and it may be regarded as a generalization of Green's theorem. I also prove that the higher secant varieties have normal Du Bois singularities. This talk is based on joint work with Lawrence Ein and Wenbo Niu.

本講演の内容は新田泰文氏 (東京理科大学)や四ッ谷直仁氏 (香川大学) との共同研究に基づく. K\”ahler-Einstein 計量は K\”ahler 多様体における標準計量として古くより研究されてきた. Aubin, Yau による Calabi 予想の解決によれば Einstein 定数が負, または 0 の場合にはこれは必ず存在する. 他方, Einstein 定数が正の場合, つまり Fano 多様体上の K\”ahler-Einstein 計量は松島の障害や二木不変量があるため常に存在するとは限らない. そこでこれらの障害によって存在が妨げられないような一般化を考える. そのようなものは幾つか提案されているが, 今回は Calabi による extremal Kahler 計量と満渕による generalized K\”ahler-Einstein 計量を採る. Calabi の extremal 計量はいわゆる Calabi 汎関数 (これは藤木-Donaldson の無限次元運動量写像のノルムの2乗として解釈できる) の臨界点として定義されるもので, K\”ahler-Einstein 計量やスカラー曲率一定 K\”ahler 計量を含む最も一般的な標準計量としてこれまで広く研究されてきた. 一方, 満渕の generalized K\”ahler-Einstein 計量は近年, Donaldson の (新しい) 無限次元運動量写像のノルムの2乗という Calabi 型汎関数の臨界点として特徴づけられることが証明され注目を浴びている. 本講演の主題はさながら双子のようなこれらの計量の間の関係についてである. 「extremal 計量が存在するとき generalized K\”ahler-Einstein 計量も存在するか？あるいはその逆はどうか？」 という問いに対して, トーリック多様体における Yau-Tian-Donaldson 対応を経由し, 対応する一様相対 K 準安定性と一様相対 Ding 準安定性を比較することで解答を与える. 時間があれば (新田氏と講演者による) 偏極トーリック多様体における YTD 対応の証明も紹介する.

Hitchin成分は従来研究されてきたTeichmüller空間の高次元化に相当する空間である． Teichmüller空間はPSL(2,R)-指標多様体の連結成分と同一視され，PSL(2,R)のPSL(n,R)-既約表現によりPSL(n,R)-指標多様体に埋め込まれる． Hitchin成分とはそのTeichmüller空間の埋め込みの像を含む，PSL(n,R)-指標多様体の連結成分である． 本講演ではHitchin成分へのTeichmüller空間の埋め込まれ方について考える． 特にHitchin成分のBonahon-Dreyerによるパラメタ付けの下で，埋め込まれたTeichmüller空間がある凸胞のアフィンスライスに対応することを説明する．

Given real valued polynomials $P$ on $\mathbb{R}^n$ and various unbounded domains $D \subset \mathbb{R}^n$, we consider the oscillatory integrals $$I(P, D, \lambda) = \int_D e^{i\lambda P(y)} dy. $$ We establish a criterion on $(P, D)$ to determine the convergence of these integrals, and find the oscillation indices when they converge. These indices are described in terms of a generalized notion of Newton polyhedra associated with $(P, D)$. Next we discuss about the estimates of the oscillatory integrals associated with $P_\alpha(y)$ uniformly in $\alpha\in \mathbb{R}^m$. When $(P, D)$ for $D=\mathbb{R}^n$ satisfies the criterion of the vector polynomial version $(y_1, \cdots, y_n, P(y))$, we obtain the Strichartz estimates for the following general linear propagators: $ e^{itP(\partial)}(f)(x) \text{ where } \partial=\left(\frac{\partial_{x_1}}{I}, \cdots, \frac{\partial_{x_n}}{i} \right). $

In this talk, we will consider surjective morphisms between smooth projective varieties in positive characteristic, and will study the positivity of the direct images of pluricanonical bundles. To this end, we will discuss a generalization of restricted base loci to coherent sheaves, and will then use this to establish a positivity theorem of Popa-Schnell type.

Kaplansky予想は、Z上表現からなる集合が一致するR係数の3変数正定値2次形式のペアは、2種類の無限系列に含まれるか、regularと呼ばれる、Zp上の表現からZ上の表現が定まる2次形式の定数倍になっているという予想である。ただし、テータ級数のように表現の多重度の一致は問わない問題をここでは考える。同様の問題は数学の他、数理結晶学分野でも考えられており、上記の無限系列(hexagonal family & rhombohedral family)も知られている。紹介する結果は、計算によるものと理論的なものがある。まず徹底探索の結果により、Kaplansky予想のより具体的なバージョンを得た。その結果、今のところ数はかなり限られるものの、regularでない2次形式の組もZ上表現が一致する候補として得られており、∞まで完全に表現が一致するかどうかは、2次形式論の分野で興味を持たれる話題になっている。また、上記の無限系列がなぜ2つに限られるのか、という問いに端を発する理論的な結果としては、Q係数の定数倍にならないR係数の2次形式の場合、Q上の表現が完全に一致するなら、それらの2次形式は互いの定数倍とQ上同値であることを示した。この問題は、2次形式のペアの同時表現を扱う状況に帰着されるため、Bhargavaが示した2次形式のペアと4次環との対応関係を用いて証明を実施している。

2つの滑らかなコンパクト多様体の間のm調和写像の時間発展, m調和写像流, の正則性特異性について考える.ここで, mは定義域多様体の次元である. m調和写像はmエネルギーの臨界関数であり, m調和写像流はその勾配流である. m調和写像は, コンパクト多様体に値をとる写像に対するmエネルギーのEuler-Lagrange方程式, 一階導関数についてm乗増大する低階項つきのm調和方程式系, によって定まる. この方程式系はエネルギー臨界の方程式である. m調和写像方程式系は自然なスケール変換のもと不変であり, これによってm調和写像の弱解は多くの場合, 正則, 解とその空間一階導関数が連続, となる. m調和写像, m調和写像流はm=2の場合の調和写像, 調和写像流の高次元版となっている.本発表では, しばらく未解決であったm調和写像流の有限特異性, m調和写像流の特異点集合は高々有限個の点からなること, を証明する. 結果, 大きいmエネルギー初期値に対して,　m調和写像流の弱解は時間大域的に存在しその弱解は高々有限個の時空の点を除いて正則であることを証明する.

A K-equivalent map is, by definition, a birational map between two smooth projective varieties which preserves the canonical divisors. Such a map is called simple if, moreover, the map is resolved in both sides by single smooth blow-ups. In this talk, we will provide a structure theorem of simple K-equivalent maps, which relates those maps to a special kind of Fano manifolds (roofs). We will also discuss applications of this structure theorem, particularly to the classification problem of simple K-equivalent maps.

90年代から現在まで行われてきた多数の数値実験により, 非調和振動子鎖では熱の異常拡散, すなわちフーリエ則の破れが普遍的に見られることが知られている. 一般に非調和振動子鎖の数学的解析は困難であるため, 近年では非線形効果を適切な確率的摂動で近似した確率調和振動子鎖が活発に研究されており, 様々な異常拡散に関する結果が得られている. 本講演では, x, y番目の振動子の相互間力が|x-y|^{-θ}, θ > 2 であるような長距離相関を持つ確率調和振動子鎖を考察し, θ ≦ 3 の場合における巨視的エネルギー分布の時間発展は 3/(7-θ)-分数階拡散方程式に従うことを紹介する.

三角形のある頂点と、対辺の内分点もしくは外分点とを結ぶ線分を総称して cevian と言いますが，幾つかの cevian の交点を使って新たな三角形を生成する、いろいろなタイプの作用素が提案されています。中村-小木曽は、相似三角形のモジュライ空間 (単位円になる) を導入し、相似対称性をもつ作用素 (相似三角形の像が相似となる) の研究に有効であることを示しました。本講演では，通常実数値の内分パラメータを複素数値へ拡張した作用素 S_pq について、詳しく調べた結果を紹介します。相似対称性をもつ作用素のほとんどが S_pq であらわされること、S_pq の反復作用による三角形の像の軌道などについて述べる予定です。

本講演では, 移流項を伴う消散型波動方程式に対する, 初期値問題の時間大域解の漸近挙動を取り扱う. 特に, 初期値は十分小さく, 遠方で多項式減衰している場合を考察する. この初期値問題については, 初期値の減衰が十分早い場合については既によく研究されており, 解は非線形散逸波と呼ばれるBurgers方程式の自己相似解に漸近することが知られている. 更に, 解の第2漸近形についても導出されており, 非線形散逸波への最適な漸近レートも得られている. 本研究では, 初期値の減衰率に直目し, 初期値が遠方で緩やかに減衰する場合について, その減衰率に対応した解の非線形散逸波への漸近レートを導出した. 更に, そのような場合に対応する, 先行研究で与えられた関数とは異なる解の第2漸近形を構成することで, 得られた漸近レートの最良性を示すことにも成功したので, それらの結果について報告する.

正のリッチ曲率を持つRiemann多様体における関数に作用するLaplacianの固有値についてのLichnerowiczの評価は，例えばKähler多様体などの場合には改善される．より一般にGrosjeanは平行な微分形式が存在する際のLichnerowiczの評価の改善を与えた．本講演では，L^2の意味でほぼ平行な微分形式が存在する際のLichnerowiczの評価の改善，およびそのほぼ等号成立に関するピンチングについて述べる

次数mの幾何的ブレイド（組み紐）は、円柱に高さに関して単調となるように埋め込まれたm本の紐の集まりであり、円板の異なるm点の運動の軌跡ともみなせる。ブレイドの上側と下側に現れる端点をm本の紐を使って円柱の外部で自然に閉じることで、３次元ユークリッド空間内の閉曲線の集まり、すなわち、絡み目が得られる。このことから結び目理論でもブレイドは古くから重要な研究対象となっている。Artinの定理によって、次数mのブレイドがなす群（ブレイド群）を自由群の自己同型群に埋め込むことができる。この講演では、２次元ブレイドとループブレイドという２つのブレイドの高次元化について紹介する。

強化ランダムウォーク(Reinforced Random Walks)は，ウォーカーがグラフの各辺に与えられた重みに比例した確率で推移し，ウォーカーが通った辺の重みを増加させるというモデルである．本発表ではグラフが半直線である場合の極限挙動について得られた結果をお話しする．辺を横断するたびに重みをc>0だけ増加させる線型強化ランダムウォークについては，Takeshima (2000)によって極限挙動の判定条件が与えられている．確率1で再帰的となる場合について，ウォーカーの行動範囲の広がりを記述する極限定理を紹介する．一方，重みの増やし方が横断回数に対して非線型な関数の場合，どのような極限挙動を示すか判然としない場合がDavis (1989)以来残されている．この問題に関して，赤堀次郎氏・Andrea Collevecchio氏との共同研究で得られた結果を紹介する．

重み付きLane-Emden方程式の正値動径対称解の族がなす層構造について議論する. 正値動径対称解の族が層構造をなすとは, 任意の二つの正値動径対称解が互いに交わらないことを表す. 重み付きLane-Emden方程式については既に, 重みに無限遠方での適切な減衰を課した場合には, 層構造の成立に関して臨界指数をもつことが知られている. 本講演においては, より減衰の速い重みを課した重み付きLane-Emden方程式である松隈方程式を対象に, 層構造の成立を調べる. 特に, 層構造を示すために動径対称解の安定性に着目するが, 本講演ではさらに, 動径対称解の安定性と層構造との関係について得られた結果も紹介する.

HyperKähler 多様体の基本的モデルは対称性の高い(非コンパクトリー群)平坦な計量をもつ四元数ベクトル空間H^nである. このセミナーではHn上に等長リー群がコンパクトであるような完備hyperKähler計量を構成する. アイディアは, 最初にHeisenberg nilpotent Lie group ℳ とその上の四元数Carnot-Carathéodory構造Dを持ってくるとき, ℳは主束 R^3 → ℳ → H^n を有し, Carnot-Carathéodory構造DはHn上の標準hyperKähler計量 ( g_0, { I_1 ,I_2, I_3} ) を誘導する. Dを与える標準Im(H) -値 1-formを変形して, Hn上に上記のようなexoticなhyperKähler計量 ( g_a, { I_1, I_2, I_3} ) を構成することである ( a∊R ) . さらにそのhyperKähler構造の存在により, 各Kähler (複素)多様体 (H^n , g_a, I_k) (k=1,2,3) がどのような影響を受けるのかを調べ, Bochner flat Kähler構造をもつことを示した.

In this talk we are concerned with the well-posedness of the initial value problem to a shallow water model for two-dimensional water waves with a floating solid body. We consider three cases: the body is fixed, the motion of the body is prescribed, and the body moves freely according to Newton's laws. The difficulty of the analysis comes from the fact that we have to treat the contact points, where the water, the air, and the solid body meet. This model yields a new type of free boundary problems for a quasilinear hyperbolic system. We will report that the initial value problem to this model is in fact well-posed. This result is based on the joint research with David Lannes at University of Bordeaux.

This talk is based on joint work with Calvin Pfeifer (Bonn). For a fixed abelian length category A, the poset tors A of torsion classes in A is a lattice. Any interval [U,T] in tors A is a sublattice of tors A, and the difference between the two torsion classes U and T is described by the subcategory W:=U^⊥∩T. Motivated by τ-tilting reduction of Jasso, we mainly studied the case that W is a wide subcategory of A; such [U,T] are called wide intervals. In this talk, I will explain our main result that a wide interval [U,T] is isomorphic to the lattice tors W of torsion classes in the abelian category W. Also, I would like to talk about several characterizations of wide intervals obtained in our work.

A CP^1-structure is a geometric structure (locally homogeneous structure) on a Riemann surface, and its holonomy is from the fundamental group of surface into PSL(2, C). The set of such homomorphisms, roughly, up to conjugation, is called the character variety. The set of CP^1-structures on a compact Riemann surface property embeds into the character variety onto a half-dimensional complex analytic submanifold. We start with some basics of CP^1-structures and then discuss some further properties of such submanifolds.

本講演では資本注入を含む de Finetti の最適配当問題を扱う．具体的には，元のモデルがLévy過程の挙動をする場合，配当と資本注入の支払い方として二方向反射戦略が最適戦略となることを示す．本講演の主結果は，Avram et al. (2007)の Theorem 3 (負スペクトラルLévy過程のケース)およびBayraktar et al. (2013) の Theorem 3.1 (正スペクトルLévy過程のケース)の一般化に当たる．負および正スペクトラルLévy過程のケースでは，二方向反射戦略の配当と資本注入に関する期待正味現在価値をスケール関数で表すことで最適性の証明を行なったが，一般のLévy過程のケースではスケール関数を用いることはできない．そのため，本講演では新たな標本路解析の手法を導入することにより，期待正味現在価値の性質を示す．

プログラムは、http://www4.math.sci.osaka-u.ac.jp/~ogawa/pdf/2019program.pdf をご参照ください。

本講演では時間周期磁場中の線型シュレーディンガー方程式を考察する。この系における古典軌道はヒルの方程式によって記述され、ヒルの方程式の決定指数により、大きく分けて３つの物理状態に分類させる。本講演では、この３つの状態がそれぞれ (I) 自由シュレーディンガー方程式 (II) 調和振動子付きシュレーディンガー方程式 (III) “ Repulsive “ なポテンシャルを持ったシュレーディンガー方程式 で特徴づけられる事を証明する。また時間が許せば、(III) の場合におけるスペクトル・散乱理論について得られた結果を紹介する。

シュレディンガー形式の臨界性、劣臨界性をディリクレ形式の再帰性、過渡性の拡張概念だと考えると、ディリクレ形式の再帰性、過渡性が拡張ディリクレ空間の言葉で特徴付けられたように、拡張シュレディンガー空間を定義することで臨界性、劣臨界性が特徴付けられる。それを用いて臨界性、劣臨界性の判定条件を与え、局所的なディリクレ形式に対してPinchover により示されたリウヴィル型定理をジャンプを許すディリクレ形式に拡張する。

関数体上のAbel多様体の岩澤理論は，Ochiai-Trihanにより研究されています．この講演では，定数Z_p拡大の場合のAbel多様体のmu不変量についてお話しします．まずTate-ShafarevichスキームやBrauerスキームの次元を用いたmu不変量の公式を示します．またAbel多様体が半安定の場合，Lai-Longhi-Tan-Trihanの岩澤主予想により，L関数を用いたmu不変量の公式が得られる事を説明します．mu不変量の消滅は，正標数代数曲面のHodge-Witt性と深く関係しています．特に超特異K3曲面上の楕円ファイブレーションのgenericファイバーは，mu不変量が0でない楕円曲線を与えます．一方で，mu不変量0の楕円曲線は，適当な条件の下で，（定数体上の）楕円曲面のモジュライの中で稠密な開部分多様体を成します．即ち"generic"な楕円曲線は，岩澤のmu=0予想の類似を満たします．（Lai, Longhi, Tan, Trihanとの共同研究）

この講演では「2−ハンドルまでで構成できるような4次元ホモロジー球体で，その境界が3次元球面であるものは4次元球体と微分同相と言えるか？」という問題を考え，その解答が肯定的となるような十分条件をシャドウの文脈で与える．シャドウとは大雑把に言えば4次元多様体の2-骨格として埋め込まれた多面体であり，4次元多様体の一種の組み合わせ的表示を与える．この表示を使うことで，4次元多様体に対し連結シャドウ複雑度と呼ばれる非負整数値の不変量が定義できる．今回与えた十分条件を用いることで，連結シャドウ複雑度の値が2以下の場合には上記の問題に対する解答はいつでも肯定的となることが示せた．これらの結果について紹介したい．なお，本研究は古宇田悠哉氏（広島大学）との共同研究である．

2 次の非線形項を持つ非線形 Klein-Gordon 方程式系における定在波解の不安定性について考察する. 単独の非線形 Klein-Gordon 方程式における定在波解の安定性や不安定性は, これまで数多くの研究が進められてきた. 一方, 本講演で扱うようなシステムにおける定在波解に関する同様の研究はあまり進んでいない. 本講演では, 2 次の非線形項を持つシステムにおける定在波の強不安定性に関する結果を報告する. 証明には, Ohta, Todorova (2007) による, virial 型等式を有界な球対称関数で近似して得られる評価を用いる. システムの場合, 質量劣臨界に対応する空間 2, 3 次元において, 各々の非線形項が gauge 不変性を持つために必要な質量共鳴条件を課すことが要求される.

Seshadri定数とはJean-Pierre-Demaillyによって導入された、代数多様体上の豊富な直線束の局所的な正値性を測る不変量である。一般には与えられた代数多様体上の直線束のSeshadri定数を計算することは容易ではないが、次元の低い場合や良い性質をもつ多様体については多くの研究がされている。例えばピカール数１のアーベル曲面の原始的な豊富直線束に関するSeshadri定数は直線束の次数の平方根か、直線束の次数から定まるペル方程式の根を用いて表せることなどが知られている。 　本講演では一定の仮定の元で、non-simpleなアーベル多様体上の直線束のSeshadri定数はそのあるアーベル部分多様体へ制限した直線束のSeshadri定数と一致するという結果について紹介をする。またこの結果の安直な応用としてnon-simpleな３次元アーベル多様体上のSeshadri定数に関して分かることを紹介する。

CR構造を境界データとするバルク境界対応において、バルクはACH（漸近的複素双曲）-Einstein多様体である。ここでバルクに（計量に整合する）よい概複素構造を付加する問題を考察する。ただし概複素構造が「よい」とは、あるエネルギー汎関数の臨界点となっていることだと考える。モデルとなるのは有界強擬凸領域にCheng-Yauの完備Kähler-Einstein計量が備わっている状況で、これを変形して解の族が得られるようにしたい。本講演では、Chern接続の捩率を用いて与えられるようなエネルギー汎関数を適切に選んでおけば、ACH-Einstein計量と「よい」概複素構造のペアの族が変形により得られることを述べる。

１次元ランダムシュレーディンガー作用素はそのポテンシャルの空間遠方での減衰オーダーにより様々なスペクトル構造、及び準位統計（固有値の局所分布）を持ち、特に「臨界オーダー」においてはランダム行列理論におけるベータアンサンブルのスケール極限と密接に関連する。本講演では、固有値と対応する固有関数のなすランダム測度を考え、そのスケーリング極限を調べた結果について報告する。

Müller汎関数は密度行列に関する汎関数で、ある意味でHartree-Fock理論の一般化になっている、多電子系（量子力学的多体系）の近似理論である。本講演ではMüller汎関数の分子理論について得られた結果について紹介する。興味があるのは、分子の存在条件やイオン化の上限である。

トーリック log del Pezzo 曲面は，LDP-polygon とよばれる特別な格子凸多角形と 1 対 1 に対応する．これを用いて，特異点を 1 個だけもつトーリック log del Pezzo 曲面が Dais により分類されている．本講演では，特異点の個数がより多いトーリック log del Pezzo 曲面の分類について解説する．

In this talk, we discuss about the value of inside information. In particular, we are interested in the case where the inside information yields arbitrage opportunities but not unbounded profits with bounded risk. Several explicit examples are given. Joint with Andrea Cosso and Claudio Fontana.

nを4以上の整数とする. n次組紐群 $B_n$ の外部自己同型群の構造は古典的によく知られている. 本講演では, $\hat B_n$（$B_n$の副有限完備化）の外部自己同型群の構造について, 最近得られた結果を紹介する. 今回の研究では, ドリンフェルト, 伊原により定義された, グロタンディーク・タイヒミューラー群の $\hat B_n$への自然な外作用が重要な役割を果たす.（中村博昭氏との共同研究）

1次元Euclid空間において3次の非線型項を伴うシュレディンガー方程式系の初期値問題を考える. 3次の非線型項は解の長時間挙動を考える際の臨界的な状況の一つであり, 一般に初期値が適当な意味で十分小さくても, 解は有限時間までしか存在しない. また、解が時間大域的に存在しても自由発展とは異なる振る舞いをすることが知られている. 本講演では, ある2成分の連立系について得られた結果を紹介する. 本講演は Chunhua Li氏(延辺大学)・佐川侑司氏・砂川秀明氏(大阪大学)との共同研究に基づく.

滑らかな準射影多様体の族の上に従順な調和束が与えられた時、 純ツイスターD加群の理論を用いることで、``調和束''の積分が 与えられます。こうして得られる調和束について調べるには、 下部構造であるヒッグス束のパラボリック構造を研究することが重要です。 この講演では、曲線の族の場合に与えられたDonagi-Pantev-Simpsonによる 公式の一般化について説明します。

調和束の研究の一つの意義は, ホッジ理論の範囲を拡張したことにあります. ホッジ構造を持つ平坦束(ホッジ構造の変動)は, 滑らかな射影多様体の族に 付随するGauss-Manin接続のような特別なものと考えられます. Simpsonは, ホッジ構造の一般化としてツイスター構造を導入し, 調和束が``ツイスター構造の変動''とみなせることを見出し, ホッジ構造の変動について成り立つ定理を調和束に拡張しました. さらに, Simpson自身やCorletteによる調和束に関する Kobayashi-Hitchin対応によれば, 複素射影多様体上の全ての半単純平坦束が調和束の構造を持ちます. したがって, ツイスターの観点から拡張されたホッジ理論は, 半単純平坦束という非常に広いクラスの対象を含むことになります. このアイディアは, 特異性を持つ調和束(ワイルド調和束)に関する研究を経て, $D$加群の場合に一般化された上で有効に利用されました. 最近では, 調和束の変種であるモノポールと, 平坦束の変種である差分加群($q$差分加群や, 楕円曲線上の差分加群も含む) の間のKobayashi-Hitchin対応が得られていますが, これは, モノポールや差分加群も``拡張されたホッジ理論''的に 興味深い対象であることを示唆しています. 本講演, および集中講義では, このような研究における要の一つである, 小林-Hitchin対応に関連する話題, 特に調和束, 平坦束, ヒッグス束の間の同値や, 周期性を持つモノポールと差分加群の間の同値について概説します.

圧縮性ナビエ-ストークス方程式を簡単化したバーガーズ方程式において、空間２次元以上に対する球対称定常解の安定性について考察する。これまでの研究では、球対称解の安定性は動径方向に関する１次元空間に制限した解析を行ってきた。しかしながら、実際の自然現象では初期値が球対称であっても、その直後には球対称性は崩れることが予想される。今回は初期擾乱を高次元的なものとし、これまでに得られた球対称定常解に対する漸近安定性を考察する。

Please visit the following website for the information of the conference. https://sites.google.com/view/nov2019osaka

We discuss the derived categories of coherent sheaves on algebraic varieties as a tool for understanding birational algebraic geometry. We will show how objects that arise in this subject naturally lead to noncommutative algebraic geometry and how the emerging constructions can be explained via schobers.

Fuss-Catalan数は、有限集合の非交叉分割の総数で知られるCatalan数の一般化の一つであり、一般コクセター群と深い繋がりがあることが知られている。 ここでFuss-Catalan数をモーメントとしてもつ確率測度が存在することが知られており、これをFuss-Catalan分布と呼ぶ。 本講演ではFuss-Catalan分布がもつ自由確率論的な性質について得られた結果を話す予定である。 なお、この研究はWojciech Mlotkowski氏(University of Wroclaw)と佐久間紀佳氏(愛知教育大)との共同研究である。

研究集会の情報は以下のサイトでご覧いただけます。 http://www.sci.osaka-cu.ac.jp/OCAMI/activities/symposium/2019/4top201911/4top201911.html

非線型的振動反応の代表的な例であるＢＺ反応を記述する反応拡散方程式系を考察する。キーナー・タイソンが導出したこのモデルは、非線型項が分数であるところに特徴がある。時間局所一意古典解を構成するのに、逐次近似法及び時間発展作用素を用いる。更に、不変領域を確立して、時間大域一意可解性を得る。また、解の漸近挙動についても考察を行う。

本講演の内容は小澤龍ノ介氏（東北大AIMR），山田大貴氏（総合地球環境学研究所）との共同研究に基づく．Lin-Lu-Yauは無向グラフに対してRicci曲率の概念を導入し，例えばその下からの有界性のもとで種々の幾何解析的性質を導いた．彼らのRicci曲率の有向グラフへの拡張についてはいくつかの候補が挙げられる．我々は有向グラフ上のChungのラプラシアンの定式化に用いられる平均推移確率を用いて新たにLin-Lu-Yau型Ricci曲率を導入した．本講演では，我々のRicci曲率の諸性質，特にその下からの有界性のもとでの比較幾何的性質を紹介する．

フロッグモデルは，正方格子上にランダムに配置されたactiveまたはsleepingのどちらかの状態を持つ粒子が，ある規則に従って時間発展する様子を記述する数理モデルである．時間発展とともにactiveな粒子によって訪問される領域は拡大していくが，それは粒子の初期配置に大きく依存している．そこで本講演では，「近い初期配置から発展するフロッグモデルにおいては， activeな粒子によって訪問される領域の漸近挙動も近くなるのか？」という連続性の問題に関して得られた結果を紹介する．

3次元多様体上の双曲錐構造の変形について、局所剛性は錐角が$2\pi$より小さいときに示されているが、大域剛性は錐角が$\pi$以下のときにのみ示されている。小島による大域剛性の証明は、$\pi$以下の錐角を小さくする変形では退化しないことに基づく。本講演では、$T^{2} \times I$上の双曲錐構造を具体的に構成することによって、錐角を小さくしたときに特異集合が交差する例を与える。

If $K$ is a field which is finitely generated over its prime field, and $X$ is a smooth projective variety over $K$, the Tate conjecture asserts that all cycles in $l$-adic etale cohomology of degree $2i$ which are Galois invariants should arise from algebraic cycles. For this to make sense, $l$ should be different from the characteristic of $K$. We will explain how $p$-adic cohomology can be used to formulate a $p$-adic version of the Tate conjecture. We will illustrate this with the case of Stuhler varieties, whose cohomology is linked with automorphic representations, and arise naturally in the Langlands program for function fields. This is a joint project with Ambrus Pal.

連結幾何的生成ファイバー$X_{\overline{\eta}}$を持つ連結正規局所ネータースキーム間の有限型全射$f: X \to S$について, 各エタール基本群のなす列 $$ \pi_{1}(X_{\overline{\eta}},\ast) \rightarrow \pi_{1}(X,\ast) \rightarrow \pi_{1}(S,\ast)\rightarrow 1 $$ を考える. SGA1では, $f$が固有平坦かつ幾何的被約ファイバーを持つ場合にこの列の完全性が示された. 本講演では, この列が完全でない場合に$f$が$S$と双有理かつ同値でないあるスタックを経由することを示し, このスタックの性質について議論する. また, $f$が平坦または$S$が正則のとき, $S$の余次元$1$の点の情報のみを用いた列が完全になる十分条件を与える.さらに$S$が標数$0$の体上の双曲曲線のとき, この条件が必要十分であることを示す.

非局所的な3次の非線形項をもつ非線形Schr\"odinger方程式の解の漸近挙動について考察する. 非線形項の係数の虚部が0でない場合に, 通常の3次の非線形Schr\"odinger方程式の挙動とは少し異なる漸近挙動を持つ解の存在を示す. 本講演は岡本葵氏(信州大学)との共同研究に基づく

非圧縮性Navier-Stokes方程式で, 領域が周期的に動く場合の時間周期問題を考える. このような問題では, Miyakawa-Teramoto (1982)およびTeramoto (1983) により, $L^2$クラスにおいて, 領域の動きと周期外力が十分小さい場合に時間周期(強)解の存在が得られていた. 本研究ではより一般に$L^q$クラスにおいて, 領域の動きと周期外力が十分小さい場合に時間周期解の存在を示す. この研究はFarwig教授(ダルムシュタット工科大学),小薗英雄教授(早稲田大学)およびDr.Wegmannとの共同研究に基づく.

In this talk, we will introduce some singularity theorems in the framework of the weighted Lorentz-Finsler setting. For this, we will explain how the weighted Ricci curvature influences the completeness and the existence of conjugate points of causal geodesics. This is a joint work with Ettore Minguzzi (University of Florence) and Shin-ichi Ohta (Osaka University).

古典的なポリログ関数は、BeilinsonやDeligneなどにより、乗法群に付随するモチーフ的ポリログの実現として解釈された。この関係を通して、Dirichlet L関数の場合のBeilinson予想や玉河数予想（Bloch-Beilinson-加藤予想）などの解決でも重要な役割を果たした。本講演では、総実代数体に付随するある種の代数トーラスのモチーフ的ポリログの実現について、講演者が山本修司（慶應）、山田一紀（慶應）、萩原啓（理研）と現在共同で進めている研究を解説する。特に、この場合のポリログが満たすと期待される性質を説明すると同時に、代数トーラスの様な高次元の場合には、関数ではなく同変コホモロジー類を考えることが自然であるという新しい視点を解説し、新谷卓郎の総実代数体のHecke L関数の非標準な母関数にまつわる1976年の研究の再解釈を与える（arXiv:1911.02650 [math.NT]）。

乗法群の場合、モチーフ的ポリログのp進実現は、Colemanにより定義されたp進ポリログ関数で記述される。このp進ポリログ関数は、Kubota-Leopoldtのp進L関数と関係することが知られている。本講演では、p進ポリログ関数の総実代数体版の定義を述べる。また、Barsky,Cassous-Nouges, Deligne-Ribetなどにより定義された総実代数体のp進 Hecke L関数との関係も述べる。

射影多様体の双有理変換の下で量子コホモロジーがどのように変化するか，という興味深い（未解決）問題がある．量子コホモロジーはコホモロジー環の環構造の（可換な）変形であって，量子接続と呼ばれる平坦接続（微分方程式系）を定める．双有理変換がクレパント（標準類を保つ）である場合には，量子コホモロジーは解析接続の下で同型になる，とするRuanの予想が有名である．クレパントではない場合，量子コホモロジーは同型にはならないが，一方が他方の直和因子になると予想される．本講演では，導来圏（あるいは位相的K群）の半直交分解が量子接続の関係を導く，とする予想について説明したい．量子接続の関係はあるRiemann-Hilbert問題の解として記述できる．

本講演では2つの結果を紹介する. (1)空間6次元で未知関数の複素共役の2乗の非線形項を伴う4階Schr\"{o}dinger方程式の初期値問題について考える. 空間6次元ではStraussの臨界指数が2であり, 小さい初期値に対する時間大域解の存在が期待されるが未解決であった. 本講演では, Shatah(1985)でKlein-Gordon方程式に用いられたNormal form methodを4階Schr\"{o}dinger方程式に応用することで, 小さい初期値に対する時間大域解の存在を証明する. (2)空間1次元で2階の空間微分を含む非線型項を伴う4階Schr\"{o}dinger方程式の初期値問題を考察する. 4階Schr\"{o}dinger方程式の基本解は微分すると時間減衰が速くなることが知られており, 空間1次元で2階の空間微分を含む3次の非線型項は小さい初期値に対する時間大域解の存在に関して臨界的な状況であることが予想される. 本講演では, 非線型項がある構造を持つ場合に得られた小さい初期値に対する時間大域解の存在の結果について紹介する.

2階楕円型線形偏微分作用素の一般化主固有値の概念は，確率最適制御と関連の深い非線形偏微分方程式である粘性Hamilton-Jacobi方程式に対して拡張することができる．本講演では，内向きのドリフト項を持つ粘性Hamilton-Jacobi方程式に対して，一般化主固有値がポテンシャル項の摂動に対してどのように振る舞うのかについて詳しく述べる．本講演の内容は，Emmanuel Chasseigne氏(Univ. Tours)との共同研究に基づく．

シンプレクティック多様体とその上の前量子化束の組に対して シンプレクティック形式と整合する複素構造の1パラメーター族に対する正則切断の1パラメーター族を考える。 複素構造に対応するケーラー偏極の族が、ラグランジュファイブレーションに対応する実偏極に収束するとき、 正則切断の族はボーア・ゾンマーフェルトファイバーに局所化するという現象が、 トーリック多様体などのいくつかの例で観測されている。 本講演では、測度距離空間の収束と、ラプラシアンのスペクトル収束の概念を用いてボーア・ゾンマーフェルトファイバーへの局所化を記述できることを ファイバーが非特異な場合に説明する。この方法では、正則切断だけでなく$\bar{\partial}$ラプラシアンの固有関数の族の局所も示すことができる。 本講演の内容は山下真由子氏（京都大）との共同研究に基づく。

三角圏の安定性条件とはBridgelandにより導入された概念であるが、これは三角圏の中の(半)安定な対象を指定し、また任意の対象を(半)安定対象に分解できるような構造を与えるものである。Bridgelandはさらに、三角圏上の全ての安定性条件を集めるとその集合(安定性条件の空間)には複素構造が入り、安定性条件の空間は複素多様体となることを示した。 この講演の前半では、MumfordによるRiemann面上のベクトル束の安定性などの例を交えつつ、安定性条件というものがどのようなものかについて説明をしようと思います。後半では、Calabi-Yau代数の導来圏の安定性条件の空間を例として、安定性条件と曲面の幾何学(特にリーマン面の二次微分)や周期積分との関わりについて話をしようと思います。

散乱長 (scattering length) とは、粗く言えば、零エネルギ－における散乱振幅のことで、散乱理論では重要な物理量の１つである。本講演では、対称α安定過程の枠組みで、必ずしも連続ではない加法汎関数に対する散乱長を定式化し、その準古典近似問題 (semi-classical asymptotic problem) やシュレディンガー作用素のスペクトル理論との関係に関する最近の結果について述べる。

一般領域上のポワンカレの不等式とその証明に就いて再考すると共に、幾つかの一般化を与える。

The Teichmüller space of a compact 2-orbifold X can be defined as the space of faithful and discrete representations of the fundamental group of X into PGL(2,R). It is a contractible space. For closed orientable surfaces, "Higher analogues" of the Teichmüller space are, by definition, (unions of) connected components of representation varieties of \pi_1(X) that consist entirely of discrete and faithful representations. There are two known families of such spaces, namely Hitchin representations and maximal representations, and conjectures on how to find others. In joint work with Daniele Alessandrini and Gye-Seon Lee, we show that the natural generalisation of Hitchin components to the orbifold case yield new examples of Higher Teichmüller spaces: Hitchin representations of orbifold fundamental groups are discrete and faithful, and share many other properties of Hitchin representations of surface groups. However, we also uncover new phenomena, which are specific to the orbifold case.

本講演では，シンボルの正則性を制限した場合の双線形フーリエ乗法作用素の有界性定理について考える． $L^p$空間上の有界性を保証するような正則性条件については，これまでにも様々な枠組みで研究されてきた． 今回は特に$L^2$空間に関連した場合については，既存の結果より更にシンボルの正則性条件の仮定を弱めた場合にも有界性が得られることをご紹介する．更に，シンボルに適切な消失条件を仮定することで，より精密な有界性が示されることもご紹介したい． 本講演は宮地晶彦氏（東京女子大），冨田直人氏（大阪大）との共同研究に基づく．

3次元ユークリッド空間上で非線形波動とKlein-Gordon方程式の連立系に対する初期値問題について考える．この連立系に対して波動部分にnull conditionを仮定することで時間大域解の存在が知られている．近年非線形波動方程式系に対して時間大域解の存在を保証する構造条件として，null conditionよりも弱い構造条件が研究されている．本講演では，波動成分に関して空間微分された項にのみ依存する非線形項をもつ場合について，Katayama-Matoba-Sunagawa (2015)によって導入されたnull conditionよりも弱い構造条件の下で、Algebraic normal forms methodとprofile方程式を応用することで，小さな初期値に対する大域解の存在を証明する．なお，本研究は片山聡一郎教授（大阪大学）との共同研究に基づく．

ファノ多様体がケーラー・アインシュタイン計量を持つこととK安定性は同値であることが知られている。しかしながら、ごくありふれたファノ多様体がK安定ではない。このような場合は、ある標準的な退化が存在し、退化した先で“一般化された意味での”ケーラー・アインシュタイン計量を持つと考えられている。本講演では、ケーラー・リッチフローとその乗数イデアル層を用いて最適退化を漸近的に構成する。時間が許せば、付値論的なアプローチについても触れたい。

投資家の時間選好を表す割引関数が古典的な指数割引関数でない場合、Bellmanの最適性原理が成立せず、効用最大化問題は時間非整合となることが知られている。つまり、現時点で見たときの将来の利得に関する最適戦略が、後の時点で見ると最適戦略とはならない。近年、このような時間非整合的な最適化問題が、確率制御理論、数理ファイナンス、経済学などで注目されている。本講演では、非マルコフかつ非完備マーケットの設定において、一般の割引関数の下での投資家の消費・投資戦略に関する効用最大化問題を考える。この問題において、時間非整合的な「最適戦略」に取って代わる時間整合的な解概念である「ナッシュ均衡戦略」の定義を紹介し、そのFBSDEを用いた特徴づけ、および時間整合的な効用最大化問題との対応について得られた結果を説明する。 本講演は、preprint 「Time-inconsistent consumption-investment problems in incomplete markets under general discount functions」(arXiv:1912.01281)の内容の紹介になります。

プログラム：https://drive.google.com/file/d/1bxK8uDibzB392y6OjQ2W1jciU6-xlzi7/view?usp=sharing