参考書のリスト
私を指導教官にしたいと考えている方が学部の間に読んでおいて欲しい本を書いておきます。学部用の教科書はたくさんありますから、あくまで必要な知識の目安としてあげたものです。これらの全部を読んでおく必要はありませんが、たいていの場合は一冊の本だけで勉強するよりも、複数の本を比較しつつ読むほうがよいでしょう。また、あえて発展的なものも入れています。めんどうくさい人は、最後のまとめだけ読んでください
微積分と線型代数
いずれ時間があればこの項目について丁寧に書きたいと思いますが、数学ガイダンスhyper（日本評論社）に微積分については書いてあります。ごく普通に、大学1,2年で習う範囲のことをしっかり身につけることが大切です。
複素解析
複素解析のテキストはたくさんありますので、サンプルとして
- 神保 道夫「複素関数入門」現代数学への入門 （岩波書店）
- 野口 潤次郎「複素解析概論」数学選書 （裳華房）
神保さんの本程度の知識は、どこに行くにしても必要でしょう。
また、楕円函数の本として
- 梅村 浩「楕円関数論―楕円曲線の解析学」（東京大学出版会）
- 竹内 端三「楕円函数論」岩波全書 （岩波書店）
をあげておきます。近年、数学科でも楕円函数を教えるところが減っているようです。
微分方程式
微分方程式は、大きく分けると常微分方程式と偏微分方程式、線型と非線型というふうに
大別され、各々で考え方、方法が異なります。偏微分のほうが常微分より一般だから偉いということでもなく、ある程度はどれも知っておく必要があります。学部では、線型の常微分方程式を中心に学ぶことが普通でしょう。
入門的なテキストとしては
- 矢嶋 信男「常微分方程式」理工系の数学入門コース（岩波書店）
- 俣野 博「常微分方程式入門―基礎から応用へ」（岩波書店）
- 柳田 英二, 栄 伸一郎「常微分方程式論」講座 数学の考え方 7（朝倉書店）
をあげておきます。理工系の大学院にすすむなら、最低限、これらの内容を知っておく必要があるでしょう。あくまで一つのサンプルであり、このレベルの本は他にもたくさんあります。
上の三冊が入門とすれば、
- ポントリャーギン（千葉 克裕・訳）「常微分方程式 新版」（共立出版）
- 福原 滿洲雄「常微分方程式」岩波全書 （岩波書店）
- 高野 恭一「常微分方程式」新数学講座 (6) （朝倉書店）
- コディントン・レヴィンソン（吉田節三・訳）「常微分方程式論 上下」（吉岡書店）
- 藤原 松三郎「常微分方程式論」（岩波書店）
- Ince, E. L. 「Ordinary Differential Equations」（Dover）
- Whittaker-Watson「A Course of Modern Analysis」（Cambridge）
などが発展コースになります。他にもいい本はたくさんあります。「常微分方程式」という同じタイトルの本でさまざまな
レベルの本があるため、学生には選択が難しいと思います。私のところに来るということなら、福原、高野あたりを読んでおくといいと思います。
また、特殊函数の勉強もしておくとよいと思います。
- 犬井 鉄郎「特殊函数」岩波全書（岩波書店）
- 小松 勇作「特殊函数」近代数学講座（朝倉書店）
- 一松 信「特殊関数入門」数学選書（森北出版）
- 西本 敏彦「超幾何・合流型超幾何微分方程式」（共立出版）
これらの本は、決して難解な本ではありませんが、最近では理工系の学生全般について
ベッセル函数などの知識が減っているように思います。
4年生くらいで読むレベルの本になりますが
- 原岡 喜重「超幾何関数」 すうがくの風景（朝倉書店）
- 野海 正俊「パンルヴェ方程式―対称性からの入門」すうがくの風景 （朝倉書店）
- 渋谷泰隆「複素領域における線型常微分方程式」紀伊国屋数学叢書８（紀伊国屋書店）
などもあげておきます。また、積分方程式の本として
- 吉田 耕作「積分方程式論 第2版」岩波全書（岩波書店）
- 溝畑 茂「積分方程式入門」基礎数学シリーズ （朝倉書店）
- 近藤 次郎「積分方程式とその応用」応用数学講座 第１２巻（コロナ社）
まとめ
たくさん本を挙げましたが、全部読むことは不可能です。私もほとんどに目は通していますが
読んでいるわけではありません。とりあえず、私がすすめるのは、微積分、線型代数、簡単な「集合と位相」を勉強した上で
- 神保 道夫「複素関数入門」現代数学への入門 （岩波書店）
- 福原 滿洲雄「常微分方程式」岩波全書 （岩波書店） もしくは
高野 恭一「常微分方程式」新数学講座 (6) （朝倉書店）
- 犬井 鉄郎「特殊函数」岩波全書（岩波書店）
- 竹内 端三「楕円函数論」岩波全書 （岩波書店）
の4つです。以上の本をしっかり身につける時間は学部4年間で十分あるはずです。余力があったら
- 野海 正俊「パンルヴェ方程式―対称性からの入門」すうがくの風景 （朝倉書店）
- 原岡 喜重「超幾何関数」 すうがくの風景（朝倉書店）
- 渋谷泰隆「複素領域における線型常微分方程式」紀伊国屋数学叢書８（紀伊国屋書店）
を読むといいでしょう。もちろん、群論、環と体論や多様体、トポロジーなど、3年で習う代数や幾何の話も大切です。
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