パンルヴェ方程式文献

1900年ごろの微分方程式の教科書

George Boole　"Treatise on Differential Equations" (1859)

　Forsyth "A Treatise on Differential equations" (1985)

フランスでは「解析教程」の部分として微分方程式が書かれることが多く、微分方程式に関する書物の多くは専門的である。たとえば、Painleve のストックホルム講義録 (1897) や、Poincare の "Les Methodes Nouvelles de la Mecanique Celeste" (1905-1910) など。「解析教程」でも、Goursat, Picard などには詳しく微分方程式について述べてある。特に Picard 「解析教程」の3巻には Picard-Vessiot 理論の原型が解説されている。

高木貞治「解析概論」を見ると、明白に Goursat の影響を感じる。高木貞治の意図は、解析を学ぶのに冗長な「解析教程」"Traite d'analyse" 三巻本でなく、一冊の本でまとめたいというものであったそうである。また、三巻本の時代とは異なり、実数論などの厳密な解説をしている。同様に一冊の本で解析入門を著した Hardy の教科書(初版1908、改訂七版1938)も、「解析教程」三巻本同様のゆったりとした導入であり、現行の十版(1952)では、全500ページの本の197ページに Heine-Borel の定理が示されている。「解析概論」が書かれた1930年ごろには世界的にみてもモダンな解析入門であった。

ドイツでは、歴史的な名著

　Lie, S. "Vorlesugen uber Differentialgleichungen mit bekannten infinit esimalen Transformationen" (1891)

　Schlesinger L. "Handbuch der Theorie der linearen Differentialgleichungen" Teubner,Leip. : (1895-1898).

　Bieberbach L. "Theorie der Differentialgleichungen: Vorlesungen aus dem Gesamtgebiet der Gewohnlichen und der partiellen Differentialgleichungen" Springer (1923)

「常微分方程式」をタイトルにした本になると

　Horn, J. "Gewohnliche Differentialgleichungen" (1905).

　Deckert A. "Uber Gewohnliche Differentialgleichungen", Josef Kosel & Friedrich Pustet (1922)
　Hoheisel G. "Gewohnliche Differentialgleichungen" Walter de Gruyter, Berlin (1926)

パンルヴェ方程式を紹介した古典的な教科書

結局、Painleve 方程式を単なる名前以上に詳しく紹介した本として、Ince が長らく唯一の英語の本だった ため、初期の Painleve 関係の論文には、Ince が引用されることになった。20世紀初頭の Encyklopadie にも Painleve 方程式は詳しく解説されている。しかし、この部分を書いたのは Painleve ではない。Encyklopadie と Schlesinger (1922) が、古典的なテキストの中で Painleve 方程式を解説したものとしては詳しい。

Painleve は Encyklopadie には別の一章「常微分方程式：存在と一意」に関して解説している。 Painleve の書いたこの部分は、Painleve 全集の2巻で仏訳が読める。

Golubev (1941) は、20世紀はじめにパンルヴェの講義を聞いてロシアに持ち帰った人である。本には一章をさいてある。しかし、1912年の総合報告
　On theory of Painleve equations (Russian), Matem. Sb. 28, 323--349
には誤りも見られる（らしい）。

Wittich (1955) は複素函数論的な立場で書いてある。
Davis (1960) には珍しくパンルヴェ函数の数表がある。
Hille の本にも、パンルヴェ方程式に関する記述は見られるものの、さほど詳しくはない。

パンルヴェ方程式に関する現代的な文献

パンルヴェ方程式について、Iwasaki-Kimura-Shimomura-Yoshida (1991) は専門家にとって 必携の本であるが、筆者の興味に特化して Garnier 系の多項式ハミルトニアンや、動かない 確定特異点の周りでの挙動などを扱って、パンルヴェ方程式固有の話は少ない。

パンルヴェ方程式の専門書としては、ロシア語で書かれた Gromak-Lukashevich (1990) が 長らく唯一の本であったが、この本を下敷きにしたと思われる Gromak-Laine-Shimomura が2002年に出た。ベラルーシ学派の仕事をまとめてあるが、それゆえの不満も多々ある。de Gruyter のサイトに行けば、目次などが読める。

Iwasaki-Kimura-Shimomura-Yoshida、Gromak-Laine-Shimomuraの2冊以外には、全般を書いた本はない。モノドロミ保存変形と漸近展開に詳しい Its-Novokshenov、パンルヴェ・テストを解説した Steeb-Euler、 古典微分幾何への応用を取り上げた Bobenko-Eitner、可積分系への応用を扱った Chowdhury などがある。また、Ablowitz-Clarkson や Mason-Woodhouse にもパンルヴェ方程式に関するまとまった記述がある。

研究会の報告集としては、Levi-Winternitz、 Conte、 Harnad-Its の３つをあげておく。特に、Conte をみれば、90年代のパンルヴェ方程式の研究が概観できる (Montreal でマッカイからもらった)。現代のパンルヴェ解析が数学のさまざまな分野と関連して発達している様子を見て欲しい。なお、広い意味のパンルヴェ解析では、Montreal 学派の活動が活発である。

パンルヴェ方程式と密接な関係がある問題として、リーマン・ヒルベルト問題（ヒルベルトの第21問題）がある。リーマン・ヒルベルト問題じたいは、さまざまな人（Hilbert、Plemelj、Rohl）によって解決されたが、Bolibruch はリーマン・ヒルベルト問題の設定に隙間があることをみつけ、ある意味での反例を示した。この反例についてはAnosov-Bolibruchに詳細に解説されている。この本の第1章は、リーマン・ヒルベルト問題のよい解説になっています。また、斎藤利弥先生の論説も参照してください。 A.A.Bolibruch は 2003年11月11日に53歳で亡くなられました。たいへん人当たりの良い人物で、来日の機会がなかったのが残念でなりません。

Schlesinger L. (1922)
Einfuhrung in die Theorie der gewohnlichen Differentialgleichungen auf funktionentheoretischer Grundlage, Aufl. 3
Gruyter, Berlin.

Ince, E. L. (1926)
Ordinary Differential Equations
Longmans-Green, London.

Golubev, V. V. (1941)
Lectures on the Analytic Theory of Differential Equations (Russian),
Gosudarstv. Izdat. Tehn.-Teor. Lit., Moscow-Leningrad. 2d ed. published in 1950;
Vorlesungen \"uber Differentialgleichungen im Komplexen, (Translated in German)
Hochschulbucher fur Mathematik, Bd. 43 VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin (1958).

Wittich, H. (1955)
Neuere Untersuchungen \"uber eindeutige analytische Funktionen
Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (N.F.), Heft 8. Springer-Verlag.

Davis, H. T. (1960)
Introduction to Nonlinear Differential and Integral Equations
Constable and Company Ltd., London.

Hille, E. (1976)
Ordinary differential equations in the complex domain.
Pure and Applied Mathematics. Wiley-Interscience.

Hille, E. (1969)
Lectures on ordinary differential equations.
Addison-Wesley.

Its, A. R. and Novokshenov, V. Yu. (1986)
The Isomonodromic Deformation Method in the Theory of Painlev\'e Equations
Lecture Notes in Mathematics 1191 Springer-Verlag.

W.-H. Steeb, N. Euler (1988)
Nonlinear evolution equations and Painleve test
World Scientific,

Gromak, V. I. and Lukashevich, N. A. (1990)
Analytic properties of solutions of Painleve equations (Russian)
Universitet' skoe, Minsk. Universitet'skoe.

Ablowitz, M. J. and Clarkson, P. A. (1991)
Solitons, Nonlinear Evolution Equations and Inverse Scattering,
London Mathematical Society Lecture Note Series, 149,
Cambridge University Press, Cambridge.

edited by Decio Levi, Pavel Winternitz (1992)
Painleve Transcendents: Their Asymptotics and Physical Applications,
Kluwer

Iwasaki, K., Kimura, H., Shimomura, S., Yoshida, M. (1991)
From Gauss to Painleve: A modern theory of special functions
Aspects of Mathematics, E16
Friedr. Vieweg & Sohn.

Anosov, D. V. and Bolibruch, A. A.
The Riemann-Hilbert Problem
Aspects of Mathematics Vol. E 22
Friedr. Vieweg & Sohn.

Mason, L. J. and Woodhouse, N. M. J. (1996)
Twistor Theory, Self-duality, and Integrability,
Oxford University Press, Oxford.

Conte, R. ed. (1999)
The Painleve property. One century later,
CRM Series in Mathematical Physics. Springer-Verlag, New York.

Bobenko, A. I. and Eitner, U. (2000)
Painleve equations in the differential geometry of surfaces,
Lecture Notes in Mathematics, 1753, Springer-Verlag, Berlin.

Chowdhury, A. R. (2000)
Painleve analysis and its applications,
Chapman & Hall/CRC Monographs and Surveys in Pure and Applied Mathematics, 105

Edited by John Harnad and Alexander Its. (2002)
Isomonodromic deformations and applications in physics,
CRM Proceedings & Lecture Notes, 31.

Gromak, V. I., Laine, I. and Shimomura, S. (2002)
Painleve Differential Equations in the Complex Plane
de Gruyter Studies in Mathematics 28

日本語の文献

藤原松三郎 (1930) は、「常微分方程式」という題名では最初か？ パンルヴェ方程式について 簡単に紹介してある （私、藤原を二冊持っていたけど一冊を坂井くんにあげて しまいました）。 福原満洲雄・岩波講座と並び、この時代の名著である。福原・岩波講座には、Painleve の分類についても α-method などの突っ込んだ解説がある。彌永昌吉先生は、P Painleve が死去した1933年に ドイツ滞在中であり、ドイツの目から見た政治家 Painleve について紹介された。

そのほか、初期の微分方程式の教科書として
　吉江琢兒「常微分方程式; 変分法」(続輓近高等数学講座) 共立社 (1931)
　吉江琢兒編「初等微分方程式」裳華房 (1937)
　福原滿洲雄「常微分方程式ノ解法II　線型ノ部」(解析數學叢書) 岩波書店 (1941)
　福原滿洲雄「常微分方程式」(岩波全書) 岩波書店 (1950)
をあげておく。福原先生の岩波全書は第二版 (1980) になって、非線型の章が削除されて 不確定特異点の章が追加された。両方見る必要がある。吉江・裳華房はこの時代の学部向き講義の 標準だろうと思われる。

手っ取り早く結論だけ言うと、Painleve 方程式を勉強するなら、藤原、福原・岩波講座、福原・岩波全書（新旧とも）は揃えておきたい。加えて、岩波全書の竹内端三「楕円函数」、犬井鉄郎「特殊函数」くらいがあれば、基本的なことはほぼ足りる。古典求積法を知りたければ、吉江・裳華房と福原・解法IIを見ると良い。

藤原松三郎 (1930) には、リカッチ方程式と書かれているが、巻末正誤表に「リッカチ」と訂正してある。 日本に広まった「リカッチ」方程式の初出かもしれない。なお、福原・岩波講座では「りっかち」、 吉江・裳華房では「りかちー」である。
斎藤利弥先生の論説は、Rohl による Riemann 面上の Riemann-Hilbert 問題の解決 (1958) の直後に 書かれたものであるが、1960年という年代を感じさせないすばらしい survey である。

福原満洲雄
常微分方程式論
岩波書店(岩波講座数学; 4分冊), 1933

彌永昌吉
ぽーる・ぱんるう゛ぇノ死
岩波書店(岩波講座数学; 月報), 1934.

斎藤 利弥
Riemann の問題
数学 12 (1960), 145--159.

岡本 和夫
Fuchs の問題について
函数方程式 25 (1972), 25--57.

岡本 和夫
Painleve の方程式,
数学 32 (1980), 30--43.

神保 道夫・三輪 哲二
τ 函数の理論--モノドロミ不変変形と場の量子論--
数学 32 (1980), 289--307.

木村 俊房・金田 康正 (1985)
2階線形常微分方程式のモノドロミ保存変形に現れた数式処理について
数学 37 (1985), 69--76.

岡本 和夫
パンルヴェ方程式序説 上智大学講究録 19, 1985.

高野 恭一・下村 俊・吉田 節治
Painleve 方程式の動かない特異点について
数学 39 (1987), 289--304.

西岡 啓二
代数的微分方程式の一般解--微分代数入門--
慶応大学セミナーノート 11, 1987.

梅村 浩
Painleve 方程式の既約性について,
数学 40 (1988), 47--61.

梅村 浩
古典数について
数学 41 (1989), 1--15.

木村 弘信
Garnier 系の葉層構造
数学 41 (1989), 223--236.

梅村 浩
Painleve 方程式と古典関数
数学 47 (1995), 341--359;

河合隆裕・竹井義次
特異摂動の代数解析学
岩波書店 (岩波講座現代数学の展開) (1998)

神保道夫
ホロノミック量子場
岩波書店 (岩波講座現代数学の展開) (1998)

梅村 浩
Painleve 方程式の100年
数学 51 (1999), 395--420.

野海 正俊
パンルヴェ方程式　−対称性からの入門−
朝倉書店 (すうがくの風景 4)，2000.

野海 正俊-山田 泰彦
Painleve 方程式の対称性
数学 53 (2001), 62--75.

下村俊
Nevanlina 理論の微分方程式への応用
（Rokko Lectures in Mathematics No. 14 ）

岡本和夫
パンルヴェの超越関数
月間マセマティクス 1980年7月号「微分方程式」，pp.516-521

岡本和夫
変形理論と場の量子論
科学 (岩波書店) 第50巻 (1980) pp.636-641

伊藤 利明
離散パンルヴェ方程式
数学セミナー 1995年2月号，pp.34-39

渡辺 文彦
パンルヴェ方程式
数理科学 1996年9月号,

岡本和夫
パンルヴェ方程式／既約性の立場からの入門
数学セミナー 1998年9月号，pp.15-19

野海 正俊
パンルヴェ方程式の世界
数学のたのしみ 9 (1998), 101--116.

梶原健司
パンルヴェ方程式の対称性
数学セミナー 1999年2月号，18--21

野海 正俊
パンルヴェ方程式, 特殊多項式, 可積分系
数理科学 2000 年 11 月号, 26-31.

山田 泰彦
パンルヴェ方程式とディンキン図形
数学のたのしみ 23 (2001), 25--34.

大山陽介
初めて空を飛んだ数学者／ポール・パンルヴェ
数学セミナー 2003年12月号， 54--58