勉強会「Hochschild コホモロジーと Deligne 予想」


2017/10/13(Fri)--2017/10/14(Sat)

-- E404/406/408

二木 昌宏

千葉大学

Hochschild 余鎖複体に対する Deligne の予想と形式性

一般の Poisson 多様体に対する変形量子化の存在問題が Kontsevich により解決され た事はよく知られているが、Tamarkin の仕事に触発される形で Kontsevich は Rn の場合 の別証明を与えた。この別証明では任意の結合的代数(もっと一般に、A 無限大代数)の Hochschild 余鎖複体が自然なホモトピー Gerstenhaber 代数の構造を持つという Deligne の予想を用いて Hochschild 余鎖複体の形式性(formality)を示す事が鍵になっているが、 この戦略は Kontsevich-Soibelman によりさらに cyclic 版が証明されたのち、Dolgushev- Tamarkin-Tsygan らにより拡張されており、変形量子化問題の文脈を超えて重要である。 Kontsevich の Deligne 予想の証明は、Boardman-Vogt や F.Cohen らの代数的トポロ ジーの文脈での仕事を巧妙に代数に移植しており、オペラッドの言語に依っている。 Dolgushev らによる 2000 年代以降の展開について解説する事は講演者の手に余るが、 オペラッドの定義から始め、Deligne 予想と形式性の最初の Kontsevich による証明に絞っ てその幾何的なアイディアが腑に落ちるよう解説する事を目標としたい。

参考文献:

Boardman, J. M.; Vogt, R. M. Homotopy invariant algebraic structures on topological spaces. Lecture Notes in Mathematics, Vol. 347. Springer-Verlag, Berlin-New York, 1973. {\rm x}+257 pp.

Dolgushev, Vasiliy; Tamarkin, Dmitry; Tsygan, Boris. Formality of the homotopy calculus algebra of Hochschild (co)chains. preprint ArXiv:0807.5117.

Kontsevich, Maxim. Operads and motives in deformation quantization. Mosh Flato (1937–1998). Lett. Math. Phys. 48 (1999), no. 1, 35--72.

Kontsevich, Maxim; Soibelman, Yan. Deformations of algebras over operads and the Deligne conjecture. Confrence Mosh Flato 1999, Vol. I (Dijon), 255--307, Math. Phys. Stud., 21, Kluwer Acad. Publ., Dordrecht, 2000.

Kontsevich, M.; Soibelman, Y. Notes on $A_\infty$-algebras, $A_\infty$-categories and non-commutative geometry. Homological mirror symmetry, 153--219, Lecture Notes in Phys., 757, Springer, Berlin, 2009.

時間割

10/13(金)

10:00--11:30 Hochschild 余鎖複体に対する Deligne の予想と形式性 1

13:30--15:30 Hochschild 余鎖複体に対する Deligne の予想と形式性 2

15:30--17:00 Hochschild 余鎖複体に対する Deligne の予想と形式性 3

10/14(土)

10:00--11:30 Hochschild 余鎖複体に対する Deligne の予想と形式性 4